「Codeforces 1164I」Maximum Value

Description

实数 $a,b$ 满足 $\left(a + b - 1\right) ^2 = ab + 1$，求 $a^2 + b^2$ 的最大值。

Source

[Codeforces]1164I

Solution

提交答案 题。

化简式子，使等式左边变为要求的值，等式右边存在完全平方项。

$$\left(a + b - 1\right) ^2 = ab + 1\\ a^2+b^2+2ab+1-2a-2b=ab+1\\ a^2+b^2+ab-2a-2b=0\\ 2a^2+2b^2+2ab-4a-4b=0\\ \begin{aligned} a^2+b^2 &= -a^2 - b^2 - 2ab + 4a + 4b\\ &= -\left( a + b \right)^2 + 4a + 4b\\ &= 4 - \left[ \left( a + b \right)^2 - 4\left( a + b \right) + 4\right]\\ &= 4 - \left( a + b - 2\right)^2 \end{aligned}\\ \begin{aligned} &\because \left( a + b - 2 \right)^2 \geq 0\\ &\therefore a^2 + b^2 \leq 4 \end{aligned}$$

即 $a^2 + b^2$ 的最大值为 $4$ 。

Answer

4