「Luogu P4124」「CQOI2016」手机号码

Description

现在需要找一些 $11$ 位的手机号码（不含前导零），要出现至少 $3$ 个相邻的相同数字，且不能同时出现 $4$ 和 $8$ 。问区间 $[l,r]\ (10^{10} \leq l \leq r < 10^{11})$ 中有多少符合上述条件的手机号码。

Source

[Luogu]P4124

Solution

考虑用 记忆化搜索 实现 数位DP 。

用 $f_{pos,pre1,pre2,four,eight,isThree}$ 表示 当前到了第 $12 - pos$ 位，前一位数是 $pre1$，前一位数的前一位数是 $pre2$，是否存在 $4$，是否存在 $8$，是否存在 $3$ 位数连续 的电话号码个数。因为固定 $11$ 位，只需要保证第 $1$ 位非零，所以不需要判断前导零。还有一个细节，当 $l = 10^{10}$ 时，$l - 1$ 会变成 $10$ 位数，显然不符合题意，这时计算就会出错，所以需要特判。具体实现详见代码，时间复杂度为 $O(\lg^3n)$ 。

Code

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

template <class T>
inline void read(T &x) {
    x = 0;
    char c = getchar();
    bool f = 0;
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) f ^= c == '-';
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);
    x = f ? -x : x;
}

template <class T>
inline void write(T x) {
    if (x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    T y = 1;
	int len = 1;
    for (; y <= x / 10; y *= 10) ++len;
    for (; len; --len, x %= y, y /= 10) putchar(x / y + 48);
}

const int MAXN = 11;
LL l, r, f[MAXN + 5][MAXN + 5][MAXN + 5][2][2][2];

inline LL dfs(int *num, int pos, int pre1, int pre2, bool four, bool eight, bool isThree, bool lim) {
	//当前到了第 12 - pos 位，前一位数是 pre1，前一位数的前一位数是 pre2，
	//four 表示是否出现过 4，eight 表示是否出现过 8，isThree 表示是否有 3 位数连续，lim 表示当前位是否受限制 
	//固定 11 位，不需要判断前导零，只需要保证开头（第 1 位）不为 0 
    if (four && eight) return 0;//不能同时有 4 和 8
    if (!pos) return isThree;//搜完了，如果有三个以上连续的，返回 1 
    if (!lim && ~f[pos][pre1][pre2][four][eight][isThree]) return f[pos][pre1][pre2][four][eight][isThree];//返回已记录的值 
    LL res = 0, maxNum = lim ? num[pos] : 9;//当前位最大值 
    for (int i = (pos == 11); i <= maxNum; ++i)//第一位不能为 0 
        res += dfs(num, pos - 1, i, pre1, four || (i == 4), eight || (i == 8), isThree || (pre1 == pre2 && i == pre2), lim && (i == maxNum));
    //搜索下一位，判断是否有 4，是否有 8 以及 是否存在 3 个数连续 
    if (!lim) f[pos][pre1][pre2][four][eight][isThree] = res;//存下当前状态的值 
    return res;
}

inline LL solve(LL x) {
    int len = 0, num[MAXN + 5];
    for (; x; x /= 10) num[++len] = x % 10;
    memset(f, -1, sizeof (f));//初始化 
    return len == 11 ? dfs(num, len, 10, 10, 0, 0, 0, 1) : 0;//特判长度是否为 11
    //第 1 位受到限制。前 2 位不能为 0 ~ 9，否则会影响检查是否存在 3 位数连续
}

int main() {
    read(l), read(r);
    write(solve(r) - solve(l - 1));
    putchar('\n');
    return 0;
}