「Luogu P1445」「Violet」樱花

Descripion

求不定方程

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n!}\ (1 \leq n \leq 10^6)$$

正整数解 $(x, y) $ 的数目，答案对 $10^9+7$ 取模。

Source

[Luogu]P1445

Solution

题目所给的方程一看就知道不能直接做，必须化简。

我们先把等式左边通分，得到

$$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}$$

对角相乘，得到

$$xy=(x+y)n!$$

移项

$$xy-(x+y)n!=0$$

根据等式的性质，两边同时加上 $(n!)^2$，得到

$$xy-(x+y)n!+(n!)^2=(n!)^2$$

这时我们发现等式左边可以因式分解了，式子变为

$$(x-n!)(y-n!)=(n!)^2$$

即使到了这一步，还是看不出什么，我们考虑换元。假设 $a=x-n!$，$b=y-n!$，则能得到

$$ab=(n!)^2$$

很显然 $n!$ 是确定的，$a,b$ 有多少不同的正整数解， $x,y$ 就有多少不同的值能使等式成立，而 $a,b$ 都是 $(n!)^2$ 的因数，所以问题就变为求 $(n!)^2$ 的因数个数。根据 唯一分解定理：

$$n!=p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdot \cdot \cdot \times p_m^{a_m}$$

其中 $m$ 表示 $n!$ 分解出的不同质数的个数，$p_i$ 表示 $n!$ 分解出的质数，$a_i$ 表示质因子 $p_i$ 的个数，那么

$$(n!)^2=p_1^{2a_1} \times p_2^{2a_2} \times \cdot \cdot \cdot \times p_m^{2a_m}$$

$(n!)^2$ 的因数个数就等于 $\prod\limits_{i=1}^{m}(2a_i+1)$ 。

这个东西怎么求呢？

我们先用 线性筛法（欧拉筛）求出 $1\sim n$ 内的质数，并记录下每个数的最小质因子（线性筛中的合数只会被它的最小质因子筛去）。因为我们要求 $n!$ 的质因数，所以枚举 $1 \sim n$ 每一个数，依次分解它们，得到它们有哪些质因数。具体方法：每次除以它本身的最小质因子，直到这个数变成 $1$ 为止。例如求 $18$ 的因数：$18$ 的最小质因子是 $2$，就将 $a_2 +1$，$18$ 除以 $2$ 变为 $9$；再考虑 $9$，$9$ 的最小质因子是 $3$，将 $a_3 +1$，$9$ 除以 $3$ 变为 $3$；$3$ 的最小质因子是 $3$，所以将 $a_3 + 1$，$3$ 除以 $3$ 变为 $1$，停止计算 。此时我们已经可以知道：$18=2^{a_2=1}\times 3^{a_3=2} $。按上述操作处理，就能算出 $n!$ 的质因数分布，根据公式就能得到答案。同时因为最小的质数是 $2$，每次除以它的最小质因子时，最大也会变为原来的 $\frac{1}{2}$，所以时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

template <class T>
inline void read(T &x) {
    x = 0;
    char c = getchar();
    bool f = 0;
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) f ^= c == '-';
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);
    x = f ? -x : x;
}

template <class T>
inline void write(T x) {
    if (x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    T y = 1;
	int len = 1;
    for (; y <= x / 10; y *= 10) ++len;
    for (; len; --len, x %= y, y /= 10) putchar(x / y + 48);
}

const int MAXN = 1e6;
const LL MOD = 1e9 + 7;
int n, cnt, a[MAXN + 5], prime[MAXN + 5], minPrime[MAXN + 5];
//minPrime[i]表示 i 的最小质因子 
LL ans = 1;

inline void getPrime(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!minPrime[i]) {
            minPrime[i] = i;//质数的最小质因子是它本身 
            prime[++cnt] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; ++j) {
            minPrime[i * prime[j]] = prime[j];//线性筛中的合数只会被最小质因子筛去 
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    } 
}

int main() {
    read(n);
    getPrime(n);//线性筛质数
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = i; j > 1; j /= minPrime[j])
            ++a[minPrime[j]];//质因子计数
    for (int i = 1; i <= cnt; ++i)
        ans = ans * (LL) (a[prime[i]] << 1 | 1) % MOD;//用公式求得答案 
    write(ans);
    putchar('\n');
    return 0;
}