「Codeforces 3B」Lorry

Description

有一个体积为 $v$ 的背包，一共有 $n$ 个物品，每个物品的体积为 $t_i$，价值为 $p_i$ 。现要从中取若干物品放入背包，使背包中物品的价值和最大。

$(1 \leq n \leq 10^5,1 \leq v \leq 10^9,1 \leq t_i \leq 2,1 \leq p_i \leq 10^4)$

Source

[Luogu]CF3B

[Codeforces]3B

Solution

发现物品的体积只有 $2$ 种，分别是 $1$ 和 $2$ 。我们可以根据体积把它们分成两类。

假如所有物品都是同一类的，一个很显然的贪心是选价值较大的更优，所以对于每一类我们将物品按价值从大到小排序。

考虑枚举体积为 $1$ 的物品放多少个，剩下的空间全部放体积为 $2$ 的物品，判断是否能够更新答案即可。时间复杂度为排序的复杂度 $O(n \log n)$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

template <class T>
inline void read(T &x) {
    x = 0;
    char c = getchar();
    bool f = 0;
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) f ^= c == '-';
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);
    x = f ? -x : x;
}

template <class T>
inline void write(T x) {
    if (x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    T y = 1;
    int len = 1;
    for (; y <= x / 10; y *= 10) ++len;
    for (; len; --len, x %= y, y /= 10) putchar(x / y + 48);
}

const int MAXN = 1e5;
int n, v, cnt1, cnt2, pos1, pos2, ans, sum, pre[MAXN + 5];
struct Node {
    int p, id;
    
    inline friend bool operator<(Node x, Node y) {
        return x.p > y.p;//按价值从大到小排序 
    }
} t1[MAXN + 5], t2[MAXN + 5];

int main() {
    read(n), read(v);
    for (int t, p, i = 1; i <= n; ++i) {
        read(t), read(p);
        if (t == 1) {
            t1[++cnt1].p = p;
            t1[cnt1].id = i;
        } else {
            t2[++cnt2].p = p;
            t2[cnt2].id = i;
        }//根据体积分成两类 
    }
    sort(t1 + 1, t1 + cnt1 + 1), sort(t2 + 1, t2 + cnt2 + 1);
    for (int i = 1; i <= cnt2; ++i) pre[i] = pre[i - 1] + t2[i].p;
    //预处理出体积为 2 的物品价值的前缀和 
    for (int i = 0; i <= min(v, cnt1); ++i) {//选了 i 个体积为 1 的物品 
        sum += t1[i].p;//体积为 1 的物品价值和
        //体积为 2 的物品选了 min(cnt2, (v - i) / 2) 个 
        if (sum + pre[min(cnt2, (v - i) / 2)] > ans) {//如果更优 
            ans = sum + pre[min(cnt2, (v - i) / 2)];
            pos1 = i, pos2 = min(cnt2, (v - i) / 2);//记录该方案的位置 
        }
    }
    write(ans);
    putchar('\n');
    for (int i = 1; i <= pos1; ++i) {
        write(t1[i].id);
        putchar(' ');
    }
    for (int i = 1; i <= pos2; ++i) {
        write(t2[i].id);
        putchar(' ');
    }
    putchar('\n');
    return 0;
}