Descrption

给定一个正整数 $n\ (0 < n \leq 2^{32})$，求 $\sum\limits_{i=1}^{n}\gcd(i,n)$ 。

Description

给定一个整数 $n\ (1 \leq n \leq 10^7)$，求满足 $\gcd(x,y)\ (1 \leq x, y \leq n)$ 为质数的数对 $(x,y)$ 的个数。

Description

给定一个整数 $n\ (1 \leq n \leq 10^7)$，求满足 $\gcd(x,y)\ (1 \leq x, y \leq n)$ 为质数的数对 $(x,y)$ 的个数。

Description

现在有一个机器人，最初站在 $n \times m\ (1 \leq n,m\leq 1000)$ 矩阵中的 $(x,y)\ (1 \leq x \leq n, 1\leq y \leq m)$ 位置。每次它会等概率的选择 原地不动，向左移动，向右移动，向下移动 四种操作。当然，机器人在第 $1$ 列时不会选择向左移动，第 $m$ 列时不会选择向右移动。求机器人到达第 $n$ 行的期望步数，至少精确到 $10^{-4}$ 。

定义

积性函数 指对于 任意互质的整数 $a$ 和 $b$ 有性质 $f(ab)=f(a)\times f(b)$ 的数论函数。

完全积性函数 指对于 任意整数 $a$ 和 $b$ 有性质 $f(ab)=f(a)\times f(b)$ 的数论函数。

很显然 完全积性函数 是 积性函数 的一个子集。

前言

许多与质数相关的定理都是数论的基础，想要学好数论，必须掌握这些定理并且能够熟练运用。

Descripion

给定 $n\ (1 \leq n \leq 10^5)$ 个正整数 $a_i\ (1 \leq a_i \leq 10^6)$ 。对于每一个数 $a_i$，求有多少个数 $j\ (1 \leq j \leq n)$ 满足 $a_i \mid a_j$ 且 $i \neq j$ 。

Descripion

给定 $n\ (1 \leq n \leq 10^5)$ 个正整数 $a_i\ (1 \leq a_i \leq 10^6)$ 。对于每一个数 $a_i$，求有多少个数 $j\ (1 \leq j \leq n)$ 满足 $a_i \mid a_j$ 且 $i \neq j$ 。

Descripion

求不定方程

正整数解 $(x, y) $ 的数目，答案对 $10^9+7$ 取模。

Descripion

求不定方程

正整数解 $(x, y) $ 的数目，答案对 $10^9+7$ 取模。