前言
许多与质数相关的定理都是数论的基础，想要学好数论，必须掌握这些定理并且能够熟练运用。
唯一分解定理（算数基本定理）
任何一个大于 $1$ 的自然数都可以表示为有限个（包括 $1$ 个）质数的乘积。
其中 $p_i (1 \leq i \leq m)$ 为质数，且都是 $n$ 的质因子。
当 $p_1 < p_2 < \cdot \cdot \cdot < p_m$ 时，该式又称为 $n$ 的 标准分解式 。
约数个数定理
若 $n = \prod\limits_{i=1}^{m}p_i^{a_i}$，则 $n$ 的约数个数可以表示为：
$\sigma$ 是 除数函数 。具体内容请见 常见积性函数 - 除数函数 。
证明：
对于这个 $n$，显然 $p_i^{a_i}(1 \leq i \leq m)$ 的约数有：
一共 $a_i+1$ 个。而 $n$ 的约数肯定是 $p_1^{a_1},p_2^{a_2},p_3^{a_3},\cdots,p_m^{a_m}$ 每一个数各选出一个约数的乘积。
根据 乘法原理，一共有
种选法，即 $n$ 的约数个数。
约数和定理
若 $n = \prod\limits_{i=1}^{m}p_i^{a_i}$，则 $n$ 的所有正约数之和可以表示为：
其实 $\sum\limits_{j=0}^{a_i}p_i^j$ 是一个公比为 $p_i$ 的 等比数列 的和，因此该式子也能表示为：
$\sigma$ 是 除数函数 。具体内容请见 常见积性函数 - 除数函数 。
证明：
咕
威尔逊定理
若 $p$ 为质数，则
威尔逊定理的 逆定理 也成立，即：
对于某一个正整数 $p$，若 $(p-1)! \equiv -1\pmod p$，则 $p$ 一定是一个质数。
证明：
咕
二次探测定理
若 $p$ 是质数，$x$ 是小于 $p$ 的正整数，且 $x^2 \equiv 1\pmod p$，则
证明：
根据同余式的性质，两边同时减去 $1$，得到
左边显然可以用 平方差公式 因式分解，得到
这个式子等价于
显然 $p$ 的因子来自 $x + 1$ 和 $x - 1$，但是因为 $p$ 是一个质数，所以 $p$ 的因子只有 $1$ 和 $p$，因此一定满足 $p\mid x+1$ 或 $p\mid x-1$ 。又因为 $0 < x < p$，所以 $x$ 的值为 $1$ 或 $p - 1$ 。
二次探测定理的 逆定理 也成立，即：
$x$ 是小于 $p$ 的正整数，若 $x^2 \equiv 1\pmod p$，且 $x\neq 1 , x\neq p-1$，则这个 $p$ 一定不是质数。
费马小定理
若 $a$ 为正整数，$p$ 为质数，且 $a$ 与 $p$ 互质，则
证明：
咕
欧拉定理
若 $a$ 和 $p$ 都是正整数，且 $a$ 与 $p$ 互质，则
$\varphi$ 是 欧拉函数 。具体内容请见 常见积性函数 - 欧拉函数 。
证明：
咕
扩展欧拉定理
若 $a$ 和 $p$ 都是正整数，则
证明：
咕